Centro de Masa

El centro de masas de un sistema 

Es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m. 

Recuerda que en dinámica podemos usar el modelo del sólido rígido, frente al de partícula puntual, cuando las dimensiones del cuerpo que estamos estudiando no son despreciables frente a la trayectoria que describe. En este apartado vamos a estudiar las magnitudes cinemáticas y dinámicas referidas al centro de masas de un sólido rígido discreto, es decir, aquel en el que se pueden distinguir las partículas que lo componen. 

Posición

Si conocemos la posición de cada partícula del sólido, podemos determinar la de su centro de masas.

La posición del centro de masas de un sólido rígido discreto viene dada por:

r⃗ CM=∑i=1nmi⋅r⃗ imtotal=m1⋅r⃗ 1+m2⋅r⃗ 2+…+mn⋅r⃗ nm1+m2+…+mn

Donde:

• n : Número de partículas del sistema
• r⃗ CM ,r⃗ i: Vector de posición del centro de masas y de cada una de las partículas que componen el sistema respecto al mismo sistema de referencia. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m ) 
• mtotal , mi : Masa total del cuerpo y de cada partícula respectiva que compone el sistema. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el kilogramo ( kg )

Ejemplo 8.48

Solución problema 8.48 

Choques Elásticos

Choques elásticos

Cuando dos cuerpos chocan puede que parte de la energía que llevan se utilice en deformarlos o bien se disipe en forma de calor, o puede que esta pérdida sea despreciable. 

Si en un choque se conserva la energía cinética total de las partículas, el choque se considera elástico.

En este caso, la conservación del momento lineal y de la energía cinética determinan totalmente la velocidad de cada partícula tras el choque.

Tras el choque ambas seguirán moviéndose con distinta velocidad (al menos en el sentido), sin embargo, la suma de sus momentos lineales ha de permanecer constante.

Supongamos ahora dos partículas de masas diferentes que solo interactúan entre si y que se mueven con velocidades constantes y distintas una hacia la otra. Tras el choque ambas seguirán moviéndose con distinta velocidad (al menos en el sentido), sin embargo, la suma de sus momentos lineales ha de permanecer constante.

Ejemplo problema 8.43

Solución problema 8.43

Momento lineal e impulso

El momento lineal 

Se define como el producto de la masa por el vector velocidad. Será por tanto una magnitud vectorial. p = m · v

Sus unidades en el sistema internacional serán por tanto Kg·m/s. Según hemos visto anteriormente la fuerza total aplicada sobre un cuerpo provoca un incremento en el momento lineal del mismo:

F = dp/dt = d(m · v)/dt

Siempre que hablamos de movimiento nos referimos a los conceptos de posición, velocidad y aceleración para describirlo. Y cuando nos referimos a interacciones entre cuerpos siempre hablamos de fuerzas.

En forma natural, estos dos hechos físicos, movimiento de un cuerpo y fuerzas que actúan sobre él, se relacionan.

Todos sabemos que un cuerpo en movimiento tiene la capacidad de ejercer una fuerza sobre otro que se encuentre en su camino. Llamaremos momento lineal o cantidad de movimiento a la magnitud que nos permite medir esta capacidad (algunos la llaman momentum).

El momento lineal es una magnitud que asocia la masa con la velocidad.

Fue el propio Newton quien introdujo el concepto de momento lineal(aunque él lo llamaba cantidad de movimiento) que combina las magnitudes características de una partícula material en movimiento: su masa (toda partícula material tiene masa) y su velocidad (magnitud que caracteriza el movimiento).

La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" (el momento lineal o momentum) dependía tanto de la masa como de la velocidad: si podemos imaginar una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca se puede detener con la mano, mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad.

Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad.

¿Por qué es más difícil detener a un camión que a una mosca si se mueven a la misma velocidad? ¿Qué ocurre cuando chocan dos bolas de billar? ¿Qué pasa cuando la raqueta golpea la pelota de tenis?

Al golpear una pelota con una raqueta, un palo de golf o un bate de béisbol, la pelota experimenta un cambio muy grande en su velocidad en un tiempo muy pequeño.

Todos estos hechos tienen en común la magnitud cantidad de movimiento o momento lineal. Como ya lo dijimos, esta magnitud combina la inercia y el movimiento, o, lo que es lo mismo, la masa y la velocidad.

Un cuerpo puede tener una gran cantidad de movimiento (momento lineal) si tiene una masa muy grande o si se mueve a gran velocidad. 

Matemáticamente, el momento lineal () se define como: 

Por tanto, el momento lineal (), es una magnitud vectorial (kg m/s), ya que resulta de multiplicar un escalar (la masa en kg) por un vector (la velocidad, en m/s). Su dirección y sentido coinciden con los del vector velocidad.

Veamos un ejemplo sencillo:

Una persona de 64 kg camina por el parque con una velocidad de 2 m/s. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de dicha persona?

Aplicamos la fórmula y reemplazamos los valores:

El momento lineal o la cantidad de movimiento de esta persona es 128 kg m/s.

¿De qué depende el momento lineal?

Como dato previo, antes de continuar, no se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, que es una magnitud diferente.

La bola espera recibir un impulso.

Ahora trataremos de investigar de qué depende la magnitud  vectorial definida como momento lineal: 

En la imagen a la derecha vemos unas bolas de billar, las  cuales, durante un juego, chocarán entre sí y con la banda de la mesa. En todos los casos supondremos que el choque dura una décima de segundo.

Ejemplo problema 8.1 

Solución problema 8.1

Conservación del momento lineal

Conservación del momento lineal 

Hasta ahora hemos hablado de momento lineal analizando el impacto solo de un cuerpo (bola de billar o partícula) sobre otro.

Ampliemos el concepto al choque de varias partículas (o bolas de billar), en lo que llamaremos un sistema de partículas.

Para ilustrar el concepto, pensemos en una mesa de billar, donde puede haber varias bolas moviéndose a la vez (las bolas representan partículas).

Entonces, llamaremos momento lineal de un sistema de varias partículas (varias bolas de billar, según nuestro ejemplo) a la suma de los momentos lineales de todas ellas. 

Debemos notar que, como el momento lineal es un vector, cuando sumamos varios momentos tenemos que hacerlo como vectores, no como simples números.

Supongamos, para hacer el caso mas sencillo, un sistema formado por dos partículas de masas cada una de ellas constante m1 y m2 que se mueven a una velocidad v1 y v2. 
La fuerza que ejerce cada partícula sobre la otra implica (principio de acción y reacción) que la segunda ejerce sobre la primera una fuerza de igual módulo, dirección y sentido contrario. 
Por tanto ambas fuerzas se anulan. Si sobre el sistema no actúa ninguna fuerza exterior el momento lineal total del sistema permanecerá constante como se ve más arriba.

Conclusiones sobre el momento lineal e impulso

Llamamos momento lineal a la magnitud que nos mide la capacidad que tiene un cuerpo de producir un efecto sobre otro en una colisión.

Llamamos impulso a la variación del momento lineal. Cuando aumentamos el momento lineal de un cuerpo, está recibiendo impulso positivo; cuando disminuimos ese mismo momento lineal, el impulso es negativo. 

Principio de conservación del momento lineal: 

Cuando un sistema de partículas no recibe impulso del exterior, su momento lineal total es constante.

Ejemplo 8.14:

Solución problema 8.14: